1.8.3 物体が２つのとき (2次元)（問題演習） - 【独習】ゼロから一歩ずつ物理の見方・考え方

ここでは2つの物体を考えましょう。動きを考えたい物体が2つ以上あるときには、”相互作用”が顔を出します。物体が2つ以上あるときには、作用反作用の法則、忘れないようにしてください！

問

　図のように、水平面と30°の角をなす滑らかな斜面を持つ質量Mの台Aが水平面に乗っている。その台の上に質量mの球状の物体Bが乗っている。Bの側面は図のように鉛直な滑らかな壁に接している。このとき、次の問に答えよ。ただし、重力加速度の大きさをgとする。

①球が壁を押す力の大きさを求めよ

②台と床の間の静止摩擦力の大きさを求めよ

　物体が二つになると、一気に難易度が高まりますが、心配することはありません。力学はあくまでも、「ある物体の動きは、その物体にはたらく力によって決まる」と言っていますので、結局は一つ一つの物体に対して、今までやってきたことをするしかないのです。そのため、物体が二つ以上あるときには、めんどくさいようでも、着目する物体毎に図を改めて描き、それぞれの図を用いながら前述の手順①～⑤を行いましょう。

それでは始めます。

①着目する物体を決める

　まず、着目する物体を決めます。今回は物体が２つあるので、２つの物体に着目します。そして、めんどうでも、それぞれについて図を描きますます。

②着目している物体にはたらく力を見つける

　つづいて、この着目しているそれぞれの物体にはたらく力を見つけます。

　球Bには、遠隔力である重力と、球と接している壁と台Aから力を受けます。壁と台Aはどちらも面なので、垂直抗力と摩擦力をそれぞれ考える必要がありますが、壁も台Aの斜面も滑らかなので、それぞれとの間の摩擦力は無視します。

　球に働く重力を$\overrightarrow{W_1}$、壁からの垂直抗力を$\overrightarrow{N_1}$、台Aからの垂直抗力を$\overrightarrow{N_2}$と名付けましょう。(力が多いので右下に添え字をつけています)

　台Aには、遠隔力である重力と、台Aと接している床と球から力を受けます。床は面なので、垂直抗力と摩擦力をそれぞれ考える必要がありますが、台Aの斜面は滑らかなので、球との間の摩擦力は無視します。（床との摩擦力は無視できないので考えます）

　台Aに働く重力を$\overrightarrow{W}$、床からの垂直抗力を$\overrightarrow{N_3}$、床との間の摩擦力を$\overrightarrow{f}$、球Bからの力を$\overrightarrow{N_4}$、と名付けましょう。(力が多いので右下に添え字をつけています)

　図のようになります。

（図中では、力の大きさを $W_1$、$N_2$ 、$N_2$ 、$W_2$ 、$N_3$ 、$f$ 、$N_4$ で表しています）

③力を図示し、座標軸を定めて、それぞれの力の成分を求める

　座標軸を定め、②で見つけた力の成分をそれぞれ求めます。今回は、図のように座標軸を定めましょう。座標軸の向きに、力を分解すると、それぞれの力の成分が見えてきます。

　例えば小球が壁から受ける垂直抗力$\overrightarrow{N_1}$の$x$成分は、正の向きなので$(+N_1)$、摩擦力$\overrightarrow{f}$の$x$成分は、負の向きなので$(-f)$となります。他の力に関しても、下の図を見ながら成分を確認しましょう。

④式を立てる

　③で求めた成分を用いて、物体毎に$x$軸方向、$y$軸方向のそれぞれでつりあいの式を立てます。

球Bの$x$方向： $(+N_1)+(-\frac{1}{2}N_2)=0$・・・(i)

球Bの$y$方向： $(+mg)+(+\frac{\sqrt{3}}{2}N_2)=0$・・・(ii)

台Aの$x$方向： $(+N_4)+(-f)=0$・・・(iii)

台Aの$y$方向： $(-mg)+(-\frac{\sqrt{3}}{2}N_4)+(+N_3)=0$・・・(iv)

⑤式を解く

　これら式(i)～(iv)を連立することで解きます。文字が多くなったので、式の数と、未知数の数を確認してみましょう。

　式の数は４つです（つまり未知数が４つまでなら解けそうです）。一方で未知数は$N_1 、N_2 、N_3 、N_4 、f $の５つです。（質量m、Mは問題文中に与えられていますので知っている値と思いましょう）

　これでは、連立方程式を解くことができません。

　ここで大切なことに気が付く必要があります。この問題は物体が二つあるということです。物体が二つある問題では、作用反作用の法則が顔を出します。この問題では、球が台Aからの垂直抗力$\overrightarrow{N_2}$と、台Aが球から受ける力$\overrightarrow{N_4}$は、お互いに押し合う力ですので、作用と反作用の関係にあると言えるのです。そのため、作用反作用の法則より、実は$\overrightarrow{N_2}$と$\overrightarrow{N_4}$が同じ大きさになることが分かるのです。

　これより、未知数は４つであると考えることができるようになり、連立方程式を解けるようになります。

　連立方程式を解くと、それぞれ次のように求まります。

$N_1=\frac{1}{\sqrt{3} }mg、N_2= \frac{2}{\sqrt{3}}mg、N_3=mg+Mg 、N_4=\frac{2}{\sqrt{3}}mg 、f=\frac{2}{\sqrt{3}}mg$

　いかがでしょうか？物体が二つになったら、二つ図を書いてそれぞれ力について考える。そのように対応してください。くどいですが、「その物体の動きは、その物体にはたらく力によって決まる」からです。

　力と力のつりあいについて目次

　　1．力がベクトルであるとはどういうことか？

　　2．作用反作用の法則とは何か？

　　3．ベクトルである力を、どう定義し、測り、式に表し、図示すべきか？

　　4．力の分類と力の種類

　　5．絶対に迷わない力の正しい見つけ方

　　6．力の合成、力の分解とその方法

　　　　6.1．合力の求め方① 図形を用いた方法（平行四辺形の法則）